ECUACIONES

La ecuación es una igualdad en la que intervienen letras con valor desconocido llamados incógnitas. Cuando los valores de las incógnitas hacen verdadera vla igualdad en la ecuación, se establece que dichos valores satisfacen la ecuación, por lo que una ecuación es una igualdad condicionada.
La notación consiste en escribir el símbolo = (igual) entre las igualdades, por lo que una ecuación consta de dos partes llamadas miembros, uno a la izquierda del signo de igualdad y otro a la derecha nombrándolos primero y segundo miembro de la ecuación respectivamente.
Ejemplo:
4x-5=16-3x

GRADO DE UNA ECUACION

El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la incógnita en la ecuación considerada.
Ejemplo:

6x+2=0

(ecuación de primer grado).

(ecuación de segundo grado)

(ecuación de tercer grado)

Una ecuación tiene tantas soluciones como el grado al que pertenece, si la ecuación es de primer grado, entonces tiene una solución, si la ecuación es de segundo grado, tiene dos soluciones,…

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. En el proceso de resolver una ecuación, es necesario realizar operaciones que dan lugar a otras ecuaciones y saber si la ecuación derivada es equivalente a la ecuación original, por lo que es necesario tener presente las siguientes propiedades:

• Si sumamos no restamos una misma cantidad a ambos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la original.
  Ejemplo: x+7=12 y x+7-5=12+5



• Si multiplicamos o dividimos una misma cantidad en ambos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la original.
  Ejemplo: 2x=7 y 2x/2=7/2
  
  
  De lo anterior deducimos que:



• Si en un miembro de la ecuación un término está sumando, este pasará del otro lado de la igualdad realizando la operación contraria, es decir, restando.



• Si en un miembro de la ecuación un término está restando, este pasará al otro lado de la igualdad sumando.



• Cualquier cantidad que esté dividiendo en una ecuación, pasará al otro lado de la igualdad multiplicando todos los términos contenidos en dicho miembro.



• Cualquier cantidad que esté multiplicando en un miembro de la ecuación, pasará al otro lado de la ecuación dividiendo todos los términos que estén contenidos en dicho miembro.
  Ejemplo: 6x+2=0 y 3x-8=1-2x.

ECUACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Se llama sistema de ecuaciones al conjunto de las ecuaciones que tienen soluciones idénticas, también se llaman ecuaciones simultaneas. Los métodos para encontrar la solución a este sistema de ecuaciones que se verán aquí son los siguientes:

• Método de adición o sustracción, método de reducción o comúnmente llamado método de suma o resta.



• Método de igualación.



• Método de sustitución.

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Se siguen los siguientes pasos:

• Se multiplican los miembros de una ecuación o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tenga igual coeficiente pero con signo contrario en cualquiera de las dos incógnitas para luego poder eliminarlas.




• Por suma o resta se elimina una de las incógnitas y se realiza la suma algebraica.




• Se resuelve la ecuación de primer grado (lineal) resultante.




• Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.




• Se comprueba sustituyendo los valores de las incógnitas encontradas en cualquiera de las ecuaciones originales. Si se cumple la igualdad o si es verdadera indica que los valores encontrados son correctos, pero si no se cumple la igualdad, entonces los valores encontrados son incorrectos.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Se siguen lo siguientes pasos:

• Se despeja la misma incógnita en función de la otra en cada una de las ecuaciones del sistema.




• Se igualan entre sí las expresiones obtenidas resultando una ecuación con una incógnita.




• Se resuelve la ecuación de primer grado lineal resultante.




• Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.




• Se comprueban sustituyendo los valores de las incógnitas encontradas en las ecuaciones originales; si se cumple la igualdad indica que éstos valores son correctos, pero si no se cumple la igualdad, indica que los valores encontrados son incorrectos.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Es una ecuación en la cual el mayor exponente de la incógnita es 2, de manera que tiene dos soluciones y se representa por la forma:

y se denomina forma general en donde a, b, c son constantes (números) y “a” debe ser diferente de cero.

Se resuelve con la siguiente fórmula: